Цветок Жизни > Золотое сечение - математика Гармонии > Платоновы тела

Платоновы тела

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В "Началах Евклида" мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Эти правильные многогранники получили название платоновых тел (Рис.1). Первое из них - это тетраэдр (Рис.1-а). Его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Следующее тело - это гексаэдр , называемый также кубом (Рис. 1-с). Гексаэдр имеет шесть граней, представляющие собой квадраты. Гранями октаэдра (Рис.1-b) являются правильные треугольники и их число в октаэдре равно восьми. Следующим по количеству граней является додекаэдр (Рис.1-е). Его гранями являются пентагоны и их число в додекаэдре равно двенадцать. Замыкает пятерку платоновых тел икосаэдр (Рис.1-d). Его гранями являются правильные треугольники и их число равно 20.

Рисунок 1. Платоновы тела.

Основными числовыми характеристиками платоновых тел является число граней F , число вершин V и число плоских углов E на поверхности тела. Эти числовые характеристики приведены в Табл.1.

Таблица 1.

"Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, - одна из самых увлекательных глав геометрии" - таково мнение русского математика Л.А. Люстернака, много сделавшего именно в этой области математики.

Прежде всего необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух платоновых тел.

Но существуют более глубокие подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R i . Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R m . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R c . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра, имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию.

Заметим, что отношение радиусов одинаково, как для икосаэдра, так и для додекаэдра. Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в "Началах Евклида".

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через золотую пропорцию.

Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой додекаэдро-икосаэдрической структуры Вселенной.

Источник: http://www.goldenmuseum.com

Пространственные формы сакральной геометрии:

Звездный тетраэдр - основа медитации МерКаБа

Додекаэдро-икосаэдрическая структура Вселенной

Записаться на семинар "Цветок Жизни" --->

© Центр Современного Развития 2004-2011г.